4.1. Числовые системы.

 

Для того чтобы освоить программирование в машинных кодах (на языке Ассемблера), необходимо знать, как организовано хранение информации в ячейках памяти и в регистрах процессора.

 Основной единицей информации является байт, который в свою очередь состоит из восьми битов. Бит может быть включен (равен 1) или выключен (равен 0), т.е. может принимать только два значения, а байт, соответственно, может принимать 256 (два в восьмой степени) значений и имеет диапазон от 0 до 255.

Те числа, с которыми мы имеем дело в повседневной практике, называются десятичными. Они строятся из разрядов (единицы, десятки, сотни и т.д.), каждый из которых может быть выражен степенью числа 10.

Так, 567 = 5*10² + 6*10¹ + 7*10⁰

Компьютеру работать в десятичной системе очень неудобно. Поскольку информация в нем представлена электрическими зарядами и можно выделить только два устойчивых состояния (есть заряд/нет заряда), то самое удобное - это хранить числа в компьютере в двоичной системе. Например, обычное десятичное число 156 может быть записано в двоичной форме как 1001 1100B. Здесь буква B на конце означает, что число записано в двоичной (binary) системе. Преобразовать его в десятичную форму можно разложением по степеням числа 2 так, как мы это делали для числа 567 выше, раскладывая его по степеням числа 10.

 

10011100B = 1*2⁷ + 0*2⁶ + 0*2⁵ + 1*2⁴ + 1*2³ + 1*2²+ 0*2¹ + 0*2⁰ = 128 + 0*64 + 0*32 + 16 + 8 + 4 +0*2 + 0*1 = 128 + 16 + 8 + 4 = 156

 

Вы видите очевидные недостатки двоичной формы записи. Во-первых, это очень громоздкая (длинная) запись, а потому и очень утомительная. Во-вторых, она с трудом переводится в десятичную форму. Все это вызывало бы массу ошибок, если бы программисты, разрабатывая программу, применяли бы двоичное представление целых чисел.

Гораздо удобнее в работе шестнадцатеричная система. Она имеет в качестве основания число 16, поэтому уже двумя разрядами можно выразить 256 целых чисел от 0  до 255 (т.к. 16²  =256).

Поскольку для шестнадцатеричной системы не хватает арабских цифр, то для выражения шестнадцатеричных цифр 10…15 приходится прибегать к буквенным обозначениям:

      0 –   0     1 –   1     2 –   2     3 -   3

      4 –   4     5 –   5     6 –   6     7 -   7

      8 –   8     9 –   9     10 –  A     11 -  B

      12 –  C     13 –  D     14 –  E     15 -  F

То же самое число 156 в шестнадцатеричной форме запишется как 9CH. Здесь буква H в конце числа говорит о том, что оно записано в шестнадцатеричной (hexadecimal) системе.

9C = 9*16¹ + 12*16⁰ = 144 + 12 = 156

Перед начинающим программистом встает вопрос, в какой системе работать - десятичной или шестнадцатеричной? За десятичную есть только один довод - многолетняя привычка. Шестнадцатеричная система удобна той простотой, с которой двоичная форма в нее переводится, а ведь двоичная форма отражает физическую  суть операции, что делает шестнадцатеричную систему основной для программистов-профессионалов, а также для специалистов в электронике и схемотехнике. Простота перевода из двоичной системы в шестнадцатеричную и наоборот обеспечивается вследствие того, что число шестнадцать может быть выражено четвертой степенью числа два: 2⁴ = 16. Поэтому, чтобы перевести число из двоичной формы в шестнадцатеричную, можно перевод выполнять по каждому полубайту (по каждым четырем битам отдельно):

1001 1100 B = 9C H [прим.4]

Таблица для связи между системами приведена ниже.

Выбирая, в какой системе Вам в дальнейшем работать, надо также учесть, что большинство прикладных программ, поддерживающих программирование в машинных  кодах - Ассемблеров и  Дизассемблеров, работают в шестнадцатеричной системе.

 

Связь между системами счисления.

 

DEC	BIN	HEX	DEC	BIN	HEX
0	0000	0	8	1000	8
1	0001	1	9	1001	9
2	0010	2	10	1010	A
3	0011	3	11	1011	B
4	0100	4	12	1100	C
5	0101	5	13	1101	D
6	0110	6	14	1110	E
7	0111	7	15	1111	F

 

4.2 Двоичная дополнительная форма записи.

Приведенная выше двоичная форма позволяет работать с целыми положительными числами от 0 до 255. Такая двоичная форма называется абсолютной, а операции с такими числами – абсолютной двоичной арифметикой. Рассмотрим, например, что происходит с содержимым  аккумулятора, если его постоянно увеличивать на единицу.

 

Флаг C регистра F	Регистр A	HEX	DEC
0	0000 0000	00	0
0	0000 0001	01	1
…	…	…	…
0	1001 1100	9C	156
…	…	…	…
0	1111 1111	FF	255
1	0000 0000	00	0

 

и т.д.

 

В то же время, есть операции, в которых необходимо наличие и целых отрицательных чисел. Например, это операции перехода (аналог GO TO). Переход может быть как вперед на n шагов (n - положительное), так и назад (n - отрицательное).

Когда процессор встречает такую команду, он воспринимает следующий за кодом операции операнд n не как записанный в абсолютной двоичной форме, а как записанный в дополнительной двоичной форме. В этой форме могут записываться целые числа от 0 до 127 и от -128 до -1. Таким образом, она может служить для записи целых чисел со знаком.

Рассмотрим наш предыдущий пример с постепенным наращиванием содержимого аккумулятора, но для двоичной дополнительной арифметики.

 

Флаг C регистра F	Регистр A	HEX	DEC
0	0000 0000	00	0
0	0000 0001	01	1
…	…	…	…
0	0111 1111	7F	127
0	1000 0000	80	-128
0	1000 0001	81	-127
…	…	…	…
0	1111 1111	FF	-1
(1)	0000 0000	00	0

 

и т.д.

 

Запомните простое правило двоичной дополнительной арифметики: чтобы поменять знак числа, надо все его единицы заменить нулями, а все нули - единицами и к результату прибавить 1.

+ 5 - это 0000 0101B (05H)

Тогда -5 - это 1111 1010B + 1 = 1111 1011B (FBH)

Сложение и вычитание в этой системе выполняются как обычно (поразрядно), но перенос при переполнении старшего разряда игнорируется. Так +5 + (-5) = 0.

 

            Флаг переноса           0000 0101

            регистра F              +1111 1010

            (1)                     0000 0000

            игнорируется

 

Ниже показаны значения каждого бита восьмиразрядного числа в абсолютной и в дополнительной двоичной форме.

	7	6	5	4	3	2	1	0
Абсолютная двоичная форма	128	64	32	16	8	4	2	1
Дополнительная двоичная форма	-127	64	32	16	8	4	2	1

4.3 Десятичная арифметика в двоичном выражении.

Это особый вид представления целых чисел в регистрах процессора. Он называется BCD-арифметикой. BCD – binary coded decimal (двоичный код десятичных чисел).

Эта форма основана на том, что каждый разряд десятичного числа можно представить в виде четырех двоичных битов:

 

      0 – 0000    1 – 0001    2 – 0010    3 - 0011

      4 – 0100    5 – 0101    6 – 0110    7 - 0111

      8 – 1000    9 – 1001

 

Значения от 1010 до 1111 - не используются.

Четырехбитную группу называют полубайтом и, таким образом, один байт в этой форме может содержать двухразрядное десятичное число от 0 до 99.

На рисунке показано представление в этой форме десятичного числа 74.

 

Левый полубайт	Правый полубайт
0 1 1 1	0 1 0 0
0+4+2+1 = 7	0+4+0+0 = 4

 

Как Вы видите, один полубайт в BCD-арифметике может содержать число от 0 до 9, в то время как в абсолютной двоичной арифметике - от 0 до 15. Очевидно, что BCD-арифметика является довольно расточительной, но у нее есть свои преимущества.

Для двух чисел, записанных в BCD-арифметике, обычные принципы сложения и вычитания неприменимы. Это происходит потому, что в абсолютной  двоичной арифметике полубайт является заполненным, когда он равен 1111 и тогда выполняется переход старшему разряду. В BCD-арифметике полубайт заполнен, когда он равен 1001 и уже здесь выполняется переход старшему разряду.

 

Абс. двоичная арифметика	BCD-арифметика
1111	1001
+ 1	+ 1
----	----
1 0000	1 0000

 

В наборе команд процессора есть всего только три команды, которые работают с числами, представленными в этой форме, но они достаточно часто встречаются, поскольку их применение значительно упрощает преобразование чисел перед выдачей их на экран в десятичной форме.

В предыдущей главе мы рассматривали флаги регистра F процессора и указали на то, что флаги N и H программистом не используются. Они участвуют в операциях с BCD-арифметикой.

Флаг N - флаг сложения/вычитания. Он равен 1 для всех операций вычитания и равен 0 для всех операций сложения.

Флаг H - флаг полупереноса. Он включается при переполнении младшего полубайта, когда начинается заполнение старшего полубайта.