Info Guide #08 30 ноября 2005

Математика - История решения теоремы Ферма.

 

              Pierre de Fermat
                 1601-65


 "Нижегородская правда", 22 авг. 1998 г.
      Рубрика "Из истории открытий"
        Геннадий Иванов (г. Саров)

          Великая теорема пала,
    но на это потребовалось триста лет


   Адвокат  Пьер  Ферма, он  же выдающийся
ученый, не опубликовавший за свою жизнь ни
 одной работы,
   Ред.: "one  mathematical essay  written
by  him  was  published  in his lifetime." 
(http://www.geocities.com/fermatnow/flt/ 
flt1.htm) 
   занимаясь  математикой, как  бы  сейчас
сказали, в  свободное  от работы время, на
полях  одной  из книг записал теорему, для
которой нашел удивительное доказательство,
для которого якобы не хватило места.
   ...Многие математики с тех пор, и среди
них  крупнейшие:  Эйлер,  Лагранж,  Гаусс,
Дирихле, Куммер, Софи Жермен и другие, по─
теряв покой,грызли эту теорему. Ее назвали
"Великой", или "Последней".
   Пьер Ферма, легко доказав уравнение для
n=4, передал  эстафету  следующим.  Только
через  140  лет великий Эйлер смог одолеть
"Великую"  для  3-й степени, через 195 лет
нашли  доказательство для 5-й степени (не─
мец Дирихе и француз Лежандр),и лишь через
209 лет - для 7-й степени (француз Ламе).
   Таинственные  три буквы, как три карты,
дразнили  и  завораживали. Великий  Гаусс,
Куммер, француженка Софи Жермен ломали го─
лову, но  тщетно - полного  решения  ни  в
XVIII,ни в XIX веке получить так и не смо─
гли.
   Для  стимулирования усилий в разрешении
"Великой"  и для поиска новых математичес─
ких  методов, Французская  Академия наук в
1850  году  учредила премию в 3000 франков
(на наши - 57 млн руб.или 0,9 кг в золотой
монете). Никто  её  получить не смог, хотя
пытались многие.
   Для  поднятия  престижа  математических
работ  немецкий  любитель математики некто
П. Вольфскель  учредил  в 1908 году премию
своего имени за... нахождение общего дока─
зательства "Великой теоремы Ферма". Размер
премии 100 тыс. марок (или 36 кг в золотой
 монете).
   Ред.: по Encarta'96, эта  премия теперь
присуждается  Гёттингенским  университетом 
за доказательство (не опровержение) данной 
теоремы, проверенное  до  13 сентября 2007 
года. 
   Сразу  же  начался настоящий ажиотаж, в
академии  ряда  стран хлынул поток доказа─
тельств. От  математиков, любителей и про─
чих,  получивших  прозвище  "ферматистов".
Многие из них оказывались в  дурдомах - не
выдерживали нервы. Начавшаяся первая миро─
вая  война и последовавшая после поражения
Германии  инфляция превратили Вольфскелев─
скую премию в ничто.
   К  1941 году усилиями трудов выдающихся
математиков "Великая теорема" была доказа─
 на до высоких степеней (n = 6 млрд),
   Ред.: Это  неверно; Shay (см. ниже) пи─
шет, что с помощью методов Kummer'а (1857) 
"in  1937 the theorem was verified for all 
powers  till  617, in 1955 it was verified 
for all  powers till 4,001, in 1976 - till 
125,000, and  in 1992 FLT was verified for 
each power till 4,000,000". 
   но  доказательства  "в общей форме", то
есть для произвольного n, получить не уда─
валось никому.
   Бурное развитие машинной математики по─
зволило  продвигаться дальше. Но "Великая"
в общем виде так и осталась  недоказанной,
несмотря  на  применение  самых изощрённых
математических методов. Академии мира про─
должали получать её "доказательства",кото─
рые неизменно попадали в...корзину для му─
сора.
   Автора  статьи  заинтересовала тема ещё
в начале 80-х годов по чисто случайным об─
стоятельствам. И когда в начале 90-х годов
появились сообщения, что какой-то английс─
кий математик нашел общее  её решение, то,
считая себя подготовленным к проблеме, по─
думал: наверное, в каком-нибудь английском
дурдоме на всякий случай место для несчас─
тного "ферматиста" приготовили. Однако со─
бытия пошли не по этой схеме.
   На проходившей в 1992 г. первой истори─
ческой  конференции  по  ядерному оружию в
нашем  Сарове (тогда ещё Арзамасе-16) слу─
чайно  спросил  у присутствовавшего на ней
академика  В. Владимирова (тогда директора
Института математики АН им. Стеклова - са─
мого компетентного в России математическо─
го  заведения): как там  идут дела в части
"закрытия" очередной  попытки "ферматиста"
и скоро ли можно  ожидать скандального оп─
ровержения?
   Василий  Сергеевич любезно сообщил, что
наши специалисты обнаружили в системе пре─
дставленных  доказательств множество огре─
хов. Иными словами, доказательства не оче─
видны, возможно, рассыплются...
   На встрече 1994 года (юбилей Юлия Хари─
тона)  разговор  опять  вернулся к Ферма и
его "Великой". При этом В. Владимиров рас─
сказал,что многие сомнения в доказательст─
вах англичанина удалось устранить, но кое-
что ещё осталось. Здесь уместно напомнить:
в 40-х - начале  50-х годов  в Сарове были
сосредоточены пожалуй, самые могучие в тот
момент  математические мозги. Перечисление
таких гигантов, как акад. Н. Боголюбов (он
из нижегородцев), М.Лаврентьев, В.Владими─
ров, М.Келдыш, говорит само за себя. Позже
действительные  члены многих разных акаде─
мий, тогда  они  вынуждены были заниматься
сложнейшими математическими задачами в ин─
тересах ядерного оружия.
   Известный  физик В. Адамский в одной из
бесед отмечал:наши физические идеи подтол─
кнули развитие многих математических мето─
дов,а главное,мы оказались основными зака─
зчиками  и потребителями мощных ЭВМ. Зани─
мался ли кто из перечисленных математиков,
хотя бы из любопытства,"Великой теоремой",
находясь в Сарове, узнать не удалось.
   Но  недавно во ВНИИЭФ прошла вторая ис─
торическая конференция,посвященная истории
разработки советского ядерного оружия.Съе─
хались многие  ветераны, в т.ч. и академик
В.Владимиров,выступивший с воспоминаниями.
Задав ему чисто дежурный вопрос,чем же за─
кончилась  история с АНГЛИЙСКИМ "ФЕРМАТИС─
ТОМ", услышал:
   - А ведь наши специалисты в этой облас─
ти  ПРИЗНАЛИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ УБЕДИ─
ТЕЛЬНЫМИ, ВСЕ ВОЗНИКШИЕ ВОПРОСЫ НАШЛИ РАЗ─
РЕШЕНИЕ.Доказательства очень сложные,почти
на ста страницах. Этими делами в нашем ин─
ституте занималась группа Шафаревича, и,по
их мнению, ТЕОРЕМА ФЕРМА ДОКАЗАНА.
   Вот тебе раз!Совершилось такое событие,
а у нас, как говорится, ни в одном глазу.
   Пришла идея:а почему бы не узнать у са─
мого академика Шафаревича,признанного спе─
циалиста по теории чисел, его оценку о по─
следнем доказательстве теоремы Ферма, поп─
росив  его  черкнуть пару слов. В ответном
письме академик подтвердил:"Действительно,
доказательство "Последней" (или "Великой")
теоремы  Ферма получено английским матема─
тиком Уайлзом, и, насколько я знаю, СЕЙЧАС
НИ У КОГО СОМНЕНИЯ НЕ ВЫЗЫВАЕТ".
   Итак, мы  стали свидетелями падения ве─
ликой  математической  тайны... Шутника  и
великого  ученого Ферма - "достали"! Но на
это  понадобилось... 330  лет  и более ста
страниц сложных доказательств.

                  * * *

            P.S. от редактора
 

   Естественно,утверждение Шафаревича - не
истина  в  последней  инстанции  (особенно 
если учесть тот бред, который он писал вне 
области математики).Например, J J O'Connor 
и  E F  Robertson  (http://www-groups.dcs. 
st-and.ac.uk/~history/HistTopics/ 
Fermat's_last_theorem.html) не столь кате─ 
горичны: "No  proof  of the  complexity of 
this  can  easily  be  guaranteed   to  be 
correct, so a very small doubt will remain 
for some time". 
 

   http://cgd.best.vwh.net/home/flt/
fltmain.htm  уточняет, что  доказательство 
 Уайлза основано на двух теоремах: 
   Теорема A (Gerhard Frey, 1982, доказано
Ken Ribet  с  участием  Jean-Pierre Serre, 
 1986): 
   If there is a solution (x,y,z,n) to the
Fermat  equation, then  the elliptic curve 
defined  by the equation is semistable but 
 not modular. 
    (так называемое epsilon conjecture)
   Теорема B   (впервые  высказано  Yutaka
Taniyama, 1955, в  общем  виде  дано  Goro 
Shimura  и  Andre Weil,   доказано  Andrew 
 Wiles с помощью Richard Taylor, 1993-95): 
   All  semistable  elliptic  curves  with
 rational coefficients are modular. 
   (так  называемое  Taniyama-Shimura con─
jecture) 
   Wikipedia  поясняет, что  под названием
elliptic curve скрывается диофантово урав─ 
нение  y¤=x·(x-a^n)·(x+b^n), где  a  и b - 
параметры уравнения  Великой теоремы Ферма 
a^n+b^n=c^n. 
 

   http://www.geocities.com/fermatnow/flt/
flt9.htm  утверждает,  что  доказательство 
Уайлза  (на  129  страницах)  лежит здесь: 
http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/ 
index.html (Andrew Wiles, Modular elliptic 
curves  and  Fermat's Last Theorem, Annals 
of Mathematics 141 (1995), 443-551; Andrew 
Wiles  and  Richard Taylor, Ring-theoretic 
properties   of  certain  Hecke  algebras, 
Annals of Mathematics 141 (1995), 553-572) 
 

   Я пока  не  собираюсь  подписываться ни
за, ни  против  Уайлза. Мне лишь известно, 
что 100 страниц без единой ошибки написать 
практически невозможно. Количество же ком─ 
петентных  проверяющих настольно невелико, 
что  гарантировать отсутствие ошибок нель─ 
зя. Будем ждать, пока за проверку не возь─ 
мётся компьютер. Впрочем, ещё не известно, 
на какой системе аксиом основано доказате─ 
льство, а это  первое, что понадобится для 
 составления проверяющей программы. 
   Так  или  иначе  (http://www.princeton.
edu/pr/news/98/q3/0827-wiles.htm), А.Уайлз 
уже получил специальную медаль (18 августа 
1998), и о его  доказательстве был показан 
документальный  фильм  (8  сентября 1998). 
Более  того, Ruth Stevens пишет, что Уайлз 
2 сентября 2005  получает "2005 Shaw Prize 
in  Mathematical  Sciences", a major award 
administered  by  the  Shaw  Foundation of 
Hong Kong, суммой  в  1 миллион  долларов. 
Но  что  решил  Гёттингенский университет, 
пока узнать не удалось. 
 

   Образцом  изысканий "ферматистов" может
послужить предложенное James Constant,2003 
(http://www.coolissues.com/mathematics/ 
Fermat/fermat.htm) очень короткое "доказа─ 
тельство"  Великой теоремы Ферма через би─ 
номиальный  ряд. Уже  во 2-й формуле автор 
допускает  грубейший  ляпсус - первый член 
ряда у него получается не 1, а нечто, име─ 
ющее  минус  один  множитель  в числителе; 
даже  второй член у него имеет ноль множи─ 
телей в числителе. А в формуле номер 6 и в 
последующих объяснениях (основанных на ис─ 
креннем  убеждении  автора, что остаточный 
член, не  стремящийся  к нулю, должен быть 
иррационален) он по сути "опроверг" возмо─ 
жность  решения в натуральных числах урав─ 
нения  x¤+y¤=z¤, чего  вовсе  не собирался 
 делать. 
   Недавно на этом поприще решил отметить─
ся и наш соотечественник: 
 ────────────────────────────────────────── 
   Математик из Омска, Александр Ильин ДО─
КАЗАЛ "Великую" теорему Ферма. "На доказа─ 
тельство нужно 15 минут.Доказательство,как 
и следовало ожидать, лежит в пределах сре─ 
 дней школы." 
   Доказательство  будет  признано через 2
года, за  которые математики должны прове─ 
рить  выкладки. Теорема  не имеет значения 
 для практики, тем не менее, это событие... 
   <Источник:  Телепрограмма  "Ren-TV";  в
выпуске новостей "24", 23 августа 2005 г., 
вторник утром, в 9:00; и, видимо, этот же, 
более ранний выпуск, в 0:15> 
               (записал SWW)
 ────────────────────────────────────────── 
   Тогда, помнится,крупным планом была по─
казана доска с синусами. 
 

   Полагаю, здесь  вряд ли нужно описывать
роль каждого из учёных,имевших отношение к 
доказательствам теоремы для частных случа─ 
ев. Об  этом можно (и довольно легко, имея 
доступ  в  internet) написать целую книгу. 
Поэтому  взамен рекомендую статью вышеупо─ 
мянутого David Shay (http://www.geocities. 
 com/fermatnow/flt/index.htm) 
   В заключение  надо  упомянуть  забавный
факт:  Shay  на  http://www.geocities.com/ 
fermatnow/flt/flt4.htm  пишет, что теорема 
о четырёх  красках тоже доказана (Wolfgang 
Haken и Karl Appel, 1976), впрочем,это до─ 
казательство ещё объёмнее, чем уайлзовское 
доказательство Великой теоремы Ферма.