Они везде извека:
В планетах, днях, природе,
В твореньях Человека,
В лесу и в огороде.
И даже ш шишках ели,
И в стеблях ананаса
(Вы их, конечно, ели)
Этих чисел масса.
Без них не ждать удачи,
Я за, пока не сгину,
За числа Фибоначчи,
За златосередину!
Б.А.Тарасенко
ТРИЖДЫ ФИБОНАЧЧИ!
Выпуск 3
Человечество не удивишь идолами, математической мистикой, слепой верой. Но если ког-
да-нибудь возникнет вновь культ чисел Фибоначчи, то, по нашему глубокому убеждению, это
будет самая разумная, самая естественная и человечная религия в мире. Потому что
жизнь — это оптимизация и наоборот, а числа Фибоначчи — это одно из проявлений велико-
го закона оптимизации, закона жизни, развития, прогресса. В новой вере к лику святых безус-
ловно будут отнесены Пифагор, Леонардо Пизанский сын Боначчи, фра Лука Пачоли, Леонар-
до да Винчи, Альбрехт Дюрер. Наука даст новых добрых пастырей. Прихожанами станет боль-
шинство населения Земли.
О числах Фибоначчи, казалось бы, сказано почти все в несколько раз переизданной рабо-
те [I]. Но смелым умам нет предела. Например, автор книги [2] Стахов А.П. нашел, что можно
добавить к международному математическому журналу, звучащему в переводе с английского
примерно как "Ежеквартальник Фибоначчи". Оказалось, что при прочих равных условиях, су-
пер-ЭВМ будет функционировать "чуть" быстрее, "чуть" точнее, надежнее, если числа и ко-
манды будущей машины закодировать в системе, основанной на этом удивительном матема-
тическом феномене (3]. Если же "рацпредложение" будет еще и внедрено, то усилиями об-
щественности, в том числе газеты "Правда", нашей стране прибавится "чуть" больше между-
народного научного престижа. И не только научного.
Принцип оптимизации обнаруживается прежде всего в объектах живой природы, а вообще
повсюду, на всех уровнях, которые кажутся и значительными [2, 3], и незначительными [4, 5].
Мы не удивимся, если "божественная" пропорция проявится на частотах, соответствующих
гармоничной живописной цветовой комбинации, в распределении по стоимости и качеству од-
нотипных продуктов в здоровом обществе и так далее. Даже в букете приятных запахов.
Программы и алгоритмы не могут существовать без своих носителей, качество и ценность
программ невозможно понять без устройств, на которых они реализуются, т.е. без исполните-
лей. Поэтому невозможно говорить о правильной цене на программу, еспи она оторвана от
цены носителя и, что особенно важно, от цены исполнительного устройства. Человек — всег-
да соиспопнитель ЭВМ, причем ведущий, и стоимость примененной программы зависит от его
компетентности.
Еспи массовые учебные программы красиво вписываются в возможности массового же
калькулятора MK-S4 стоимостью 65 рублей, то естественно ли, что набор подобных учебных
программ кое-кто пытается воспроизводить на настольных "персоналках" стоимостью в 50 ты-
сяч рублей? Нет, конечно. Большому кораблю — большое плавание, малой флотилии — дру-
гая, но не менее почетная и важная служба. Естественно ли, что Всесоюный фонд алгоритмов
и программ не признает за программный продукт (с защитой авторских прав) математическое
обеспечение к МК-54, МК-61, в то время как, например, фирма "Хьюлетт-Паккард" имеет
многочисленные пакеты прикладных программ к подобным карманным компьютерам и реаль-
ную прибыль от их продажи? Нет, ситуация абсурдна.
В спожившемся положении напрашивается вывод, о том, что хорошо систематизированные
серийные публикации по программному обеспечению калькуляторов в какой-то степени защи-
щают авторские права создателей программ и берут на себя функции фондов программ. И
мы с вами, уважаемые читатели, на верном пути.
Казалось бы, автора опять "занесло" в сторону от темы. На самом деле мы с вами вместе
наблюдаем естественный процесс (и участвуем в нем!) социальной оптимизации по проблеме
всеобщей компьютерной грамотности. А оптимизация — это тот же принцип, те же чиспа, о
которых мы сейчас ведем разговор.
Но вернемся к нашей основной теме и трижды воздадим хвалу первому, кто упомянул о
"кроличьих в числах [I], великому Леонардо из Пизы, сыну Боначчи.
Программа № 8
Демонстрационный генератор чисел Фибоначчи
с полной автоподготовкой
А А АЛГ ГЕНЧИСФИБ1 /М, Б/ / + заголовок, переменные + /
ББ АРГ М, Б / + аргументы при вводе + /
ВВ РЕЗ Б,М / + результаты при выводе + /
ГГ ПОЯСНЕН В алгортме ГЕНЧИСФИБ1, или генераторе чисел Фибона-
ччи № 1, используются два соседних числа Фибоначчи: М — мень-
шее, Б — большее, а в каждом цикле вычислений выполняется Р: = Б,
Б: = Б + М, а затем М: = Р, Р — рабочая переменная и ячейка; инди-
цируется только число Б. М = сРгХ1,Б = сРгХ. Пригодны: МК-61, МК-52,
БЗ-Э4, МК-54. Начальные аргументы вводятся автоматически из
текста программы.
ДД ВСЕ о пояснениях / + конец описаний и пояснений + /
ЕЕ НАЧ / + начало собственно алгоритма + /
ЖЖ ВКЛ-ВКЛ / + включ. питания, высвеч. 0. слева + /
ЗА Ф ПРГ / + переход в реж. записи про-мм, выев. 00 справа + /
ЗБ ВЫПОЛНИТЬ / + запись следующего ниже текста программы + /
00 t 01 / + КЛАВКО 1, или клавишная константа 1 + /
01 ф 1/Х 23 / + после 1/Х сРгХ остается равным единице + /
02 0 00 / + КЛАВКО 0; сРгХ = 0, сРгУ = 1, cPrXI = 1 + /
03 Ф Вх 0 / + cPrXI на РгХ; сРгХ = М + /
04 + - + 14/+ встречный обмен сРгХ и сРгУ; сРнХ = Б + /
05 + 10 / + новое Б: = старое Б + старое М, новое М = cPrXI + /
06 С/П 50 / + стоп-индикация Б, большего из двух чисел + /
07 БП 51 / + безусловный переход, заголовок команды 4- /
08 0 3 03 / + адрес безусловного перехода + /
ЗВ ПОЯСНЕН Конец ручного набора текста программы
ЗГ ВСЕ о пояснениях
ИИ Ф АВТ / + переход в реж.исполнения, О.справа + /
КК В/О / + установка счетчика шагов на нулевой начальн.адр. + /
ЛЛ С/П / + пуск программы на счет + /
ММ НАБЛЮДЕНИЕ / + мигание около одной секунды, затем + /
/ + ровное высвечивание индикатора; в это + /
/ + время можно визуально считать очеред- + /
/ + ное число Фибоначчи + /
НА ЕСЛИ нужно продолжить счет
НБ ТО ХОД на метку ЛЛ
НВ ИНАЧЕ ВКЛ-ОТКЛ / + отключение питания, гасн.инд. + /
НГ ВСЕ
НД КОН алгоритма
В программах NsNs 8 и 9 применены уже знакомые читателям по вып.2 особые комменти-
рующие скобки. Для наглядности и для напоминания о способе их использования приводится
пример /+ ВОТ ВАМ И ВНУТРИСКОБОЧНЫЙ "ПРИМЕРНЫЙ" ТЕКСТ + /. Комментирующая
запись внутри подобных скобок, как правило, относится к соответствующей командной строке,
расположенной левее скобок. Опустим в записи (но не в исполнении!) ручные команды Ф ПРГ
Ф АВТ В/О, место и роль которых, полагаем, читатели твердо усвоили.
Для записи инструкций к программам здесь применен школьный безмашинный алгоритми-
ческий язык /ШБАЯ/, в который введены некоторые добавления и которые, надеемся, будут
понятны без объяснений. Депо в том, что инструкция — это тоже алгоритм, где художествен-
ная проза подходит меньше всего. Так почему бы для описания инструкции, или последова-
тельности ручных команд, не использовать детерминированную краткость ШБАЯ? Именно это
мы и сделали. Нам кажется, что ШБАЯ по отношению к калькулятору превращается, таким
образом, из красивого, но неприкаянного "летучего голландца" в практичного и понятного тру-
дягу, обретающего наконец твердую почву под ногами. Переписывать же программы в кла-
вишном языке калькулятора из ШБАЯ и наоборот — это нечто противоестественное.
В программах 8 и 9 клавишный язык калькулятора выглядит как автокод по отношению к
языку высокого уровня, а именно по отношению к языку ШБАЯ, а все это сочетание в целом
Программа № 9
Счетный генератор чисел Фибоначчи
АА АЛГ ГЕНЧИСФИБ2 /ЦЕЛ М, Б, с/ / + заголовок алгоритма + /
ББ АРГ М, Б, С / + входные целые переменные, из програ-ы + /
ВВ РЕЗ Б, М, С / + результирующие переменные при выводе + /
ГА ПОЯСНЕН М — меньшее, Б — большее из двух соседних чисел
Фибоначчи, С — порядковый номер числа Б.
ГБ ВСЕ о пояснениях'
ДД НАЧ / + начало собственно алгоритма + /
00 1 01 / + КЛАВКО 1, или клавишая константа 1 + /
01 Х- + П А 4- / + М: = 1, так как cPrA = M, так принято + /
02 0 00 / + КЛАВКО 0, или клавишн.константа 0 + /
03 Х- + П В 4Л / + Б: = 0, так как принимаем сРгВ = Б + /
04 Х- + П 4 44 / + С: = 0, или сРг4 = 0, или нач.уст.счет. + /
05 К П- + X 4 Г4 / + С: = С + 1, или работа счетчика + /
06 П- + X А 6- / + сРгХ: = М с вызовом из РгА + /
07 П- + ХВ 6J1 / + сРгХ: = Б с вызовом из РгВ, сРгУ: = М + /
08 Х- + П А 4- / + сРгА: = новое М, новое М = старое Б + /
09 + 10 / + Б: = М + Б, справа от знака " =" стар.зн. + /
10 Х- + П В 4Л / + сРгВ5: = новое Б, сРгХ = Б + /
11 П- + Х4 64 / + cPrXJ: = сРг4, или счетчика, сРгУ: = Б + /
12 + - + 14 / + встречный обмен сРгХ и сРгУ; сРгХ = Б + /
13 С/П 50 / + стоп-индикация Б; возмсжн.вызова С + /
14 БП 51 / + БП, или заголовок команды безусл.перех. +/
15 0 * 05 / + переход по БП на шаг 05 + /
ЖЖ С/П / + ручной пуск программы на автомат.счет + /
ЗА НАБЛЮДЕНИЕ / + мигания около 5 секунд + /
ЗБ СТОП-ИНДИКАЦИЯ / + очередного числа Фибоначчи с ост.счета + /
ИИ ЕСЛИ нужен порядковый номер числа Фибоначчи,
КК ТО + - + / + через секунду высвечивается этот номер + /
ЛЛ ВСЕ / + что касается номера числа Фибоначчи + /
ММ ЕСЛИ нужно продолжить счет
НН ТО ХОД на метку ЖЖ
OA ИНАЧЕ ВКЛ-ОТКЛ / + отключение питания + /
ОБ ВСЕ
ОВ КОНЕЦ алгоритма ГЕНЧИСФИБ2
смотрится, на наш взгляд, вполне гармонично. Естественно применить здесь и принцип умол-
чания, что и сделано для программы N9 9 по отношению к командам перехода из режима в
режим и установки пускового адреса программы. Так, если адрес пуска не указан, то это озна-
чает, что он нулевой и что для установки нулевого начального адреса нужно перед пуском
программы на счет выполнить ручную команду В/О. Способ маркирования команд, ручных и
записанных в программной памяти калькулятора, напоминает механизм маркирования строк в
БЕЙСИКе. Все показанное — это демонстрация возможностей, а не призыв к массовому по-
вторению, поэтому инструктивная часть к программе № 10 дается одним из старых способов.
Все три программы показывают числа Фибоначчи по абсолютной величине от 1 до
39 — точно, а начиная с 40 и выше — приближенно. По структурной организации все они яв-
ляются "бесконечными" демонстраторами чисел. Программы снабжены внутренней самоуста-
новкой и перед началом работы требуют только однократной ручной команды В/О. Далее на
каждое нажатие клавиши С/П будут появляться уже знакомые вам числа 1, 1, 2, 3, 5, В, 13, 21,
... Для программ 9 и 10 при останове счета номер индицируемого числа может быть вызван
на индикатор ручной клавишной командой П- + Х 4. Очередное нажатие С/П — и счет может
быть продолжен вслед за этим без всякой дополнительной начальной установки.
Если желательно сменить направление генерации фибоначчиева ряда, то это возможно
только для программы 10. Для осуществления реверса вслед за наблюдением очередного
числа Фибоначчи и перед очередным нажатием С/П необходимо один раз нажать на клавишу
ШГВ (или "шаг вперед", или ШГ). Нажатие можно сделать в любом "месте" числового ряда и
менять направление генерации многократно. Если порядковые номера дать в верхней строч-
ке, а числа Фибоначчи — в нижней, то для программы 10 можно получить примерно следую-
щую диаграмму результатов ее работы:
...-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0+1 +2+3+4+5+6 +7 ...
...-13 8 -5 3 -2 1 -1 0 1 1 2 3 5 8 13 ...
Программа № 10
Счетный реверсивный генератор чисел Фибоначчи
00 1 01 / + КЛАВКО 1, или клавишная константа, начало + /
011 01 / + КЛАВКО 11, конец "автонабора" + /
02 Х- + П 4С / + сРгС: = 11, или засыл числа 11 в РгС + /
03 2 С 02 / + КЛАВКО 2, начало "автонабора" из программы + /
04 9 09 / + КЛАВКО 29, завершение "автонабора" + /
05 Х- + П Д 4Г / + сРгД: = 29, или засыл числа 29 в РгД + /
06 Сх ОГ /+ сРгХ: = 0 +/
07 Х- + П 4 44 / + сРг4: = 0, или С: = 0, или обнуление счетчика + /
08 Х- + П В 4Л / + сРгВ: = 0, или Б: = 0; Б — большое число + /
09 1 01 / + КЛАВКО 1 +/
10 Х- + П А 4- / + сРгА: = 1, или М: = 1;М — меньшее число + /
11 П- + Х 4 64 / + сРгХ: = сРг4, или вызов на РгХ содерж.РгД + /
12 1 01 / + КЛАВКО 1 +/
13 + 10 / + сРгХ: = сРгХ + 1, фрагмент работы счетчика + /
14 Х- + П 4 44 / + сРг4: = сРгХ, или С: = С + 1, счетчик пор. №№ + /
15 Г1- + Х А 6- / + вызов на РгХ меньшего текущего числа ШМ + /
16 Г1- + Х В 6Л / + вызов на РгХ большего текущего числа Б + /
17 Х- + П А 4- / + новое М = старому Б, фиксация в РгА + /
18 + 10 / + новое Б = старое Б + старое М + /
19 Х- + П В 6Л / + сРгВ: = новое Б путем засылки в РгВ + /
20 С/П 50 / + стоп-индикация Б, или большего числа + /
21 К БП С 8С / + ХОД на шаг, или адрес, по содерж. РгС + /
/ + здесь, точнее при стоп-икдикации, возможен
реверс за счет ручной ШГВ-клавиши + /
22 П- + Х С 6С / + сРгХ: = сРгС +/
23 П- + X Д 6Г / + сРгХ: = сРгД; сРгУ: = сРгС + /
24 Х- + П С 4С / + сРгС: = сРгД, первая фаза обмена + /
25 +-+ 14 / + встречный обмен сРгХ и сРгУ + /
26 Х- + П Д 4Г / + сРгД: = сРгС, вторая фаза обмена между РгС
и РгДР смена базы косвенной адрес-и +/
27 БП 51 / + БП, или заголовок команды безусловн.пер, + /
28 2 1 21 / + безусловный переход на шаг 21 + /
29 П- + X 4 64 / + вызов сРг4 на РгХ, или счет, лорядк. №№ + /
30 1 01 /+ КЛАВКО 1 +/
31 — 11 / + С: = С-1, или перв. фаза раб. сч.на вычит. + /
32 Х- + П 4 44 / + засылка нов. знач. С в Рг4, регистр-сч. + /
33 П- + X В 6Л / + вызов старого Б на РгХ + /
34 П- + X А 6- / + вызов старого М на РгХ, засыл Б в РгУ + /
35 — 11 / + образование разности Б — М, или нового М + /
36 Х- + П А 4- / + фиксация нового М в РгА + /
37 Ф Вх 0 /н- вызов старого М, или нового Б + /
38 Х- + П В 4Л / + фиксация нового Б в РгВ + /
39 БП 51 / + БП, заголовок команды безусловного пер. +/
40 2 0 20 / + безусловный переход на шаг 20 + /
Нам кажется, что представленный набор программ будет полезен, особенно последняя, не
только для учебы, но и для стимуляции новых результативных поисков по затронутой теме,
математических и практических. При переходе через точную границу и последующем возвра-
те к нулю (программа 10) будет "захвачена зарубежная неточность". "Неточность возврата",
видимо, будет зависеть от гпубины перехода плюсовой или минусовой области нумерации и,
предположительно, от предыстории состояния некоторых регистров калькулятора. Исследова-
тели, вам в руки фигуральные "карты" и реальная программа!
Чтобы легче было вести такие исследования, приводим таблицу разложения чисел Фибо-
наччи на простые сомножители. Она составлена честным путем, т.е. с использованием каль-
кулятора не мощнее МК-85 и с помощью собственноручно составленных вспомогательных
программ. В попупярной литературе до столь "далеких" порядковых номеров еще, кажется,
не доходипи, ну, мы и решили заполнить этот пробел... Решили заодно напомнить об одном
интересном свойстве чисел Фибоначчи, которое лучше наблюдать как раз на таблице увели-
ченного объема. Суть свойства: если больший порядковый номер "кропичьего" числа кратен
меньшему, то соответствующее большее число Фибоначчи кратно меньшему. Например, если
14 и 7 есть порядковые номера, то соответствующие им фибоначчиевы числа 377 = 13 х 29 и
13 кратны 13. Остальные примеры, уважаемые читатели, вы во множестве можете подобрать
сами. При составлении приведенной таблицы упомянутым свойством делимости мы очень ши-
роко пользовались.
Разложение чисел Фибоначчи на простые сомножители
Порядковый номер Число Разложение
числа Фибоначчи Фибоначчи на множители
1 1=1
2 1=1
3 2=2
4 3=3
5 ...........................................5 = 5
6 8 = 2x2x2
7 ..........................................13 = 13
8 21 = 3x7
9 34 = 2x17
10 55 = 5x11
1 1......................................... 89 = 89
12 144 = 2x2x2x2x3x3
13 233 = 233
14 377 = 13x29
15 610 = 2x5x61
16 987 3x7x47
1 7.......................................1597 = 1597
18 2584 = 2x2x2x17x19
19 4181 = 37x113
20 6765 = 3x5x11x41
21 10946 = 2x13x421
22 17711 = 89x199
2 3.....................................28657 = 28657
24 46368 = 2x2x2x2x2x3x3x7x23
25 75025 = 5x5x3001
26 121393 = 233x521
27 196418 = 2x17x53x109
28 317811 = 3x13x29x281
2 9....................................514229 = 514229
30 832040 = 2x2x2x5x11x31x61
31 1346269 = 557x2417
32 2178309 = 3x7x47x2207
33 3524578 = 2x89x19801
34 5702887 = 1597x3571
35 9227465 = 5x13x141961
36 14930352 = 2x8x3x3x3x17x19x107
37 24157817 = 73x149x2221
38 39088169 = 37x113x9349
39 63245986 = 2x233x135721
40 102334156 = 3x5x7x11x41x2161
41 165580141 = 2789x59369
42 267914296 = 2x2x2x13x29x211x421
4 3...............................433494437 = 433494437
44 701408733 = 3x43x89x199x307
45 1134903170 = 2x5x17x61x109441
46 1836311903 = 139x461x28657
Демонстрационные программные генераторы чисел Фибоначчи, приведенные в [4], отли-
чаются от аналогичных программ 8, 9 и 10 тем, что у них предъявляемый отрезок фибоначчие-
ва ряда укорочен, т.е. отсутствует одно и ли даже два первых числа. Интервал времени между
нажатием С/П и появпением очередного числа на экране индикатора для новых программ, с
учетом разброса быстродействия разных калькуляторов, может оказаться равным соответст-
венно 2, 3 и 5 секундам.
Существует еще одно золотое правило, явно находящееся в родстве с божественной про-
порцией: после относительно сложной работы необходимо переходить к менее сложной. Чте-
ние наших статей рубрики нельзя считать развлекательным, поэтому последуем за природой,
а не вопреки ей.
Чертова дюжина
Задумаемся об одном примечательном совпадении. Случайно ли, что один из первых
'толкователей" принципа оптимизации, Фибоначчи, жил в XIII веке? Что легендарный автор ос-
новных канонов социального переустройства общества, Иисус Христос, в кульминационный
момент своей жизни подобрал себе группу сподвижников (вместе с ним самим) в числе 13?
Случайно ли, что круговой манеж практически всех цирков мира почти в точности равен 13
метрам? Что жрецы беззастенчиво меняли продолжительность марцедония — 13 месяца
древних римлян? Что в календарях майя было 13 месяцев? Что, наконец, число 13 есть среди
чисел Фибоначчи и на многих живых объектах растительного происхождения? Предполагаем,
что так получается совсем не случайно и что в мире животных число 13 тоже существует на
вполне законных основаниях. Может статься, что это редкая морская звезда с 13 лучами, фо-
раминифера, или млекопитающее с 13 парами зубов. Не исключено, что числом 13 отмечен
организм, который уже был на земле, но которого уже нет в текущей жизни, возможно, что
ему еще только предстоит появиться в цепочке биоэволюции. Много ли мы знаем в подобном
плане о насекомых, тем более — о микроорганизмах? Вероятно, что некоторое ведущее чис-
ло в строении тела животного окажется равным или кратным 13, например число пар ног у не-
которых видов "тысяченожек". Есть же иные совпадения: у паукообразных по восемь
ног — число Фибоначчи! У насекомых по шесть ног, 6 = 2x3 — произведение двух соседних
чисел Фибоначчи! У человека по пять пальцев на каждой конечности, наиболее известны пя-
тилучевые морские звезды, цветы семейства розоцветных имеют по пять лепестков. Видимо,
не случайно такой феномен увековечен природой, так как пять — это единственное число
Фибоначчи, у которого его порядковый номер совпадает с ним самим.
Чем меньше животное, тем больше количество приплода за один помет. А каково типовое
число детенышей за один помет у разных животных, яичек — в кладках птиц, бабочек, жуков,
стрекоз? Каково количество сосков на молочной железе у разных видов млекопитающих, как
это число связано с типовым количеством разового приплода? У утконоса и ехидны сосков нет
вообще, молоко свободно изливается на покрытую шерстью часть живота, откуда детеныш и
слизывает ценную материнскую пищу. Чем не две единицы в начале ряда Фибоначчи! В по-
добном аспекте живая модель фибоначчиева числа два известна всем и обсуждению не под-
лежит. Трудности наступают с числами "три" и "пять". И все же, вдруг в природе существует
редкий вид, например, опоссума, самки которого имеют по 13 сосков?
Напишите нам о научно подтверждаемых фактах такого рода, спросите у знакомых биоло-
гов, потому что они редко бывают одновременно программистами и математиками.
Оставаясь в рамках, очерченных основным заголовком выпуска 3, рассмотрим проблему
еще с одной стороны.
Знают ли о числах Фибоначчи другие?
К сожалению, об этом знают очень немногие. Поэтому любую объективную пропаганду,
публикации на эту тему следует только приветствовать. Как и подборку программ о числах
Фибоначчи в журнале "Наука и жизнь" № 4 за 1990 год, стр. 97. Правда, с оговорками. Числа
Леонардо наконец-то возвращаются в школьную программу. Программа, которая вычисляет
число Фибоначчи по заданному его номеру, совпадает по назначению и организации с нашей
программой № 008 [4]. Программа хороша, компактна. Однако нам удалось найти небольшую
"щель" в этом монолите, сократив программный текст на две команды и сделав ее более
удобной в использовании. Приводим эту программу в нашем варианте.
Программа № 11
Генератор числа Фибоначчи по его заданному номеру
00 Х- + П 0 40 06 + 10
01 1 01 07 Ф ЛО 5Г
02 +-+ 14 08 0 4 04
03 0 00 09 С/П 50
04 Ф Вх 0 10 БП 51
05 14 11 0 0 00
Инструкция:
В/О, набор порядкового номера Н искомого числа Фибоначчи, С/П; набор нового номера,
С/П и так далее.
Программа работает точно в диапазоне порядковых номеров от 1 до 39, для номеров вы-
ше 39-го числа выдаются с округлением. На поиск последнего точно вычисляемого числа,
63245986, на МК-52 было затрачено 53 с. Нельзя сказать, что очень уж большое время. Про-
грамма получилась короткой и быстрой»
В темплане издательства "Наука" по физико-математической литературе на 1990 год под
N° 25 значится шестое издание книги Воробьева Николая Николаевича "Числа Фибоначчи". В
книге имеется "... приложение, содержащее программы на языке БЕЙСИК для всех приведен-
ных в книге алгоритмов". Издательство "Наука" в рекомендациях не Нуждается, и эту научно-
популярную книжку читателям стоит взять на заметку. По части приложения и БЕИСИКа для
МК-85 мы можем оказаться даже несколько впереди.
Программа № 12
Простейший демонстрационный счетный генератор чисел Фибоначчи
1 PRINT "ГЕН.ФИБОНАЧЧ"
2 А = 1 : В = 0:Н = О
3 N = N + 1
4 С = А:А = В:В = С + А
5 PRINT "N"; N, "F = В
6 GOTO 3
После того как вы запишите текст программы 12 в один из десяти файлов МК-85, напри-
мер в файл Р2 (на клавишной панели — над клавишей, красным цветом) и перейдете в ре-
жим автоматического исполнения (MODE О), вам достаточно нажать клавишу "S латинское
красное"* затем клавишу 2 (Р2) и на экране индикатора появится надпись ГЕН.ФИБОНАЧЧ. Да-
лее остается только нажимать клавишу ЕХЕ. При каждом нажатии на экране будет появляться
сначала номер, помеченный соответствующей буквой, а после него — тоже помеченное бук-
вой сопряженное число Фибоначчи. Программа работает точно до Н = 49 Фу9 = 7778742049
включительно. Начиная с порядкового номера 50, числа Фибоначчи вычисляются прибпиженно
и высвечиваются в степенной форме записи. После нажатия ЕХЕ результаты на экране появля-
ются практически мгновенно. При скоростном режиме (а для МК-85 возможен и такой) вычис-
ления производятся в 6 раз быстрее обычного всего лишь при 4-кратном увеличении потреб-
ления по току (примерно с 2 до 8 мА). Лишь начиная с 45-го числа вам придется ждать 1 — 2
секунды, до тех пор пока слишком большое число на экране автоматически не продвинется,
после паузы, справо налево (буквы при этом выдвигаются "за пределы" экрана).
В "Справочнике по расчетам на микрокалькуляторах" В.П.Дьяконова (3-е изд. — М.: Нау-
ка, 1989) не без труда разыскиваем на стр. 180 программу 4.28 "Поиск числа Фибоначчи по
заданному номеру". Первый сюрприз: если мы вводим номер, то число, выдаваемое про-
граммой, оказывается связанным с номером, который на единицу больше исходного. Не
очень удобно, но нас предупредили. Вводим и проверяем программу. Здесь нас ждет сюрп-
риз посильнее. Оказывается, что по справочнику одиннадцатое число равно 144, когда оно на
самом деле меньше и равно 89. Но неправильно напечатано, работающая программа под-
тверждает! Все сдвинуто на единицу! Так нельзя, это закон математики. Напечатанное равно-
сильно объявлению: "С завтрашнего дня считать 2x2 = 5."
Обнаружив опечатки и небрежности в других программах, припомнив предупреждения зна-
комых преподавателей вузов, приходим к выводу, что здесь, в справочнике, еще о числах
Фибоначчи не знают. У справочника третьего издания большой "плюс": широкий охват тем.
Но читателю придется соблюдать девиз: не проверив, не пользуйся. А что-то придется сде-
лать самостоятельно.
Возьмем заводское "Руководство по эксплуатации" к микрокомпьютеру "Электроника МК-
85". На страницах 49 и 50 обнаруживаем... программу нахождения члена ряда Фибоначчи по
заданному номеру. Вводим программу, запускаем при порядковых номерах 0, 1, 2 и 3 и каж-
дый раз получаем единицы. Что-то многовато единиц для одного ряда Фибоначчи. Возможно,
что мы сделали не очень корректный ввод. Да, согласны. Но для неподготовленного пользо-
вателя в инструкции никаких предупреждений нет. Идем дапее, т.е. набираем порядковый но-
мер 4, получаем число 2. Очень интересно! Что дальше? Для порядкового номера 11 получа-
ем уже не 89, как должно быть, не 144, как у Дьяконова В.П., а 55. Похоже, что здесь, непра-
вильно понимая "компьютерный плюрализм", "играют на понижение" и готовы, не моргнув
глазом, объявить, что 2x2 = 3.
Вежливые и воспитанные читатели, а также очень предусмотрительные, посетуют в том
смысле, что не стоило бы так обижать наших "благодетелей", которые сделали неплохой по
устройству и цене микрокомпьютер. Но где они, эти микрорадости? Почему ими не завалены
попки наших магазинов, школы и детские сады, НИИ и вузы? Почему столь малы годовые
планы выпуска МК-85 и куда идет сверхплановая продукция? Вопросы не риторические и воз-
никающие не от избытка полемического задора. Действительно, МК-85 может быть полезен и
ребенку, и академику, школьнику, студенту, инженеру. Все эти вопросы (и многие другие) от
редакции и от имени наших читателей (в редакции есть много писем с читательскими вопро-
сами по поводу МК-85) мы хотели задать представителю завода — изготовителя этого деше-
вого карманного компьютерного чуда. Но представителю редакции было отказано в чисто тех-
ническом интервью. У нас еще будет время написать, опубликовать много красивых и полез-
ных программ, а у представителей разработчиков МК-85 — подумать и, возможно, изменить
свою позицию. Читатели будут ждать и того, и другого. Мы уверены.
Заканчивая этот выпуск, сообщим, что у нас много читательских писем с предложениями,
вопросами, программами. Наиболее интересное из этой почты найдет место на страницах по-
следующих выпусков. Но следует предупредить, что в первую очередь рассматриваются
предпожения, напечатанные на машинке (или принтере) с аккуратно написанными (лучше на-
печатанными) программами.
Литература
1. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. — М.: Наука, 1978. — 144 с.
2. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. — М.: Радио и связь, 1984. — 152 с.
3. Реут В. Вот вам и Фибоначчи!//Правда. — 1988. — 21 ноября.
4. Тарасенко Б.А. Алгоритмический букварь и карманная ЭВМ. — Вып. 4. — Серия "Вы-
числительная техника и ее применение". — М.: "Знание", 1988.
5. Тарасенко Б.А. Делитель частоты. Авторское свидетельство № 343386. БИ N9 20 от 33
июня 1973 года.
ВНИМАНИЕ!
В розничную продажу поступили БРП-4 к МК-52,
снабженные 54 программами
преимущественно бытового назначения.
Вы получите:
13 медико-профилактических бытовых программ;
8 программ, вычисляющих подоходный налог;
6 программ для перевода старых единиц в
метрические
15 (примерно) игровых программ,
календарь и др.
На январь 1991 г. розничная цена БРП-4 составляет 16 руб.
