Impulse #04 24 февраля 1999

Программирование

Фракталы - Фракталы с теоретической точки зрения.

░  ░ ░▒▓████████████████████████████████████████████████▓▒░ ░  ░
 ░  ░▒▓       ФРАКТАЛЫ С ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ      ▓▒░  ░
░  ░ ░▒▓████████████████████████████████████████████████▓▒░ ░  ░
 
                                                (C) Адриен Дуади
 
 Множества Жюлиа и множество Мандельброта
 
   Множества Жюлиа квадратичных  отображе-
ний и множежество Мандельброта  появляются
в ситуации, которая с математической  точ-
ки зрения исключительно проста, - из  пос-
ледовательностей комплексных чисел,  опре-
деляемых по индукции с  помощью  соотноше-
ния: Z(n+1)=Z(n)¤+c,  где c - это  некото-
рая постоянная.
 
   Поведение  вышеупомянутой    последова-
тельности чисел зависит от параметра  c  и
начальной точки Z(0). Если зафиксировать c
и изменять Z(0) в поле комплексных  чисел,
то мы получим множество Жюлиа, а если  за-
фиксировать Z(0)=0 и изменять параметр  c,
то получим  множество  Мандельброта.  Если
взять Z(0) далеко от нуля,  то  последова-
тельность будет быстро стремиться к беско-
нечности. Это, конечно, верно также и тог-
да, когда точка Z(n) для некоторого n  на-
ходится далеко от нуля.  Но  существуют  и
такие значения Z(0), для которых  последо-
вательность (Z(n)) никогда не уходит дале-
ко, а всегда  остается  ограниченной.  При
заданном c эти значения образуют наполнен-
ное  множество  Жюлиа  Kc  для    полинома
Fc:Z->Z¤+c.  Настоящее же множество  Жюлиа
состоит из граничных точек Kc.
 
   Вполне естественно, что  вид  множества
Жюлиа зависит от выбора  параметра  c,  но
удивляет  то,  насколько  эта  зависимость
сильна. И, меняя c, можно  получить  неве-
роятное разнообразие множеств Жюлиа:  одни
из них похожи на большие  "толстые"  тучи,
другие напоминают  редкие  кусты  ежевики,
третьи выглядят как искры, летящие в  небе
во время фейерверка. Есть два основных ти-
па множеств Жюлиа: некоторые  из  них  яв-
ляются цельными (мы говорим  связными),  а
другие представляют собой облака из  точек
(мы называем их Канторовыми  множествами).
Для математика появляется хорошая  возмож-
ность ввести новое множество  -  множество
значений c, для которых Kc связано. Я наз-
вал его множеством Мандельброта,  так  как
Бенуа Мандельброт был первым  кто  получил
его изображение с помощью компьютера и по-
ложил начало его изучению.
 
   Множество  Жюлиа  принадлежит  к  числу
наиболее  интересных  фракталов.  Большин-
ство из них самоподобно. Взглянув на  кар-
тину какого-либо множества Kc в микроскоп,
мы увидим картину, которая, во-первых, ма-
ло зависит от того, в каком месте мы смот-
рим, а во-вторых ничем существенно не оли-
чается от той, которую  мы  видели  и  без
микроскопа. В то же время  множество  Ман-
дельброта M не обладает свойством  самопо-
добия: да, M действительно содержит беско-
нечное число копий самого себя, и,  следо-
вательно, в каком бы месте мы ни  взгляну-
ли на границу M в микроскоп, мы увидим не-
которые из малых копий  M.  Но  эти  копии
вплетены в сеть нитей, вид  которой  очень
сильно зависит  от  того,  в  какой  точке
смотреть. Более того,  если  рассматривать
две копии сравнимого размера,  то  отноше-
ние расстояния между ними к их размеру бу-
дет сильно зависеть не только от точки,  в
которой мы наблюдаем, но и  от  увеличения
микроскопа.
 
          Инвариантные множества
 
   Инвариантным  относительно  какого-либо
преобразования называется фигура  комплек-
сной плоскости,  не изменяющаяся при  этом
преобразовании. Самым простым примером мо-
гут служить фигуры,  инвариантные  относи-
тельно    квадратичного     преобразования
f(x)=x¤+b*x+c.
 
   Способ построения таких множеств  пока-
жем на примере преобразования:
          f(x)=x^4+2*Q*x¤+E (*)
 
   Сначала выберем  какие-либо  конкретные
значения для параметров Q и  E,  например,
Q=.13+.4i, E=.08-.5i
   Процесс построения - итеративный,  поэ-
тому  определим   колличество    итераций:
iteration=5000
   Начальное значение: X0=0
   Формула итерации:
          X(i+1)=ёSQRT(-QёSQRT(Q¤+X(i)-E))
 
   Уравнение (*) имеет в  общем  случае  4
корня. Нам надо выбрать для каждой  итера-
ции какой-либо один  корень.  Выбор  можно
осуществлять случайным  образом.  ё  озна-
чает плюс или минус. Все вычисления -  над
комплексными числами. Если построить  гра-
фик Xi: ось X - Re Xi, ось Y - Im  Xi  для
данных значений параметров, то  полученная
фигура будет напоминать остров. Форма  по-
лученной фигуры зависит от значений  пара-
метров Q и E.
   Аналогично можно построить фигуру,  ин-
вариантную  относительно  любого   другого
преобразования.
 
IMPERIO> Текст был найден и обработан мною для  того,  чтобы  Вы
могли малость помозговать на эту тему, вот. С практической  час-
тью этого вопроса я так толком еще и не разобрался, но,возможно,
в следующем номере IMPULSE будет серьезный разговор на эту тему.
Я все таки призываю всех тех, кто может что-нибудь родить на те-
му фракталов, связаться со мной лично - буду очень благодарен.