Nicron #67 18 декабря 1997

Образование - решения конкурсных задач.

	Твои университеты! (2)


(C) WLODEK BLACK
Рисунки - (C) ЛЕШИЙ (Алексей Антипов)

...Здравствуйте, дорогие шестиклассники ;-) !
Пришла пора разобраться с решениями конкурсных задач. Как мы  и
обещали, по истечении срока отправки работ на конкурс в  Дворец
пионеров решения задач публикуются. Кто  не успел  -  тот,  увы,
опоздал...


Задача 1.

1. Hа   озере     двадцатый день
расцвела одна все  озеро  по-
лилия. Каждый крылось  цвета-
день    число ми.  Hа  какой
цветков удва- день   цветами
ивалось, и на покрылась поло-
	      вина озера?
	      
	      
	      

ешение Строго говоря, данная задача - типичная геометрическая
прогрессия с множителем 2 и начальным значением 1. Hо и без зна-
ния столь мудреных терминов нетрудно догадаться, что если в каж-
дый последующий день цветков становилось в 2 раза больше, чем в
день предыдущий, то в каждый предшествующий день их было во сто-
лько же раз меньше. Если на двадцатый день озеро  заросло  цели-
ком, то половина озера была заполнена накануне, то есть на 19-й
день.

Задача 2.

2. Hайдите последнюю цифру числа 14^14 (14 в степени 14).

ешение Каждая четная степень 14-ти оканчивается на 6, а нечет-
ная - на 4. Доказывать не надо? Высчитывать, наверно, тоже!

Задача 3.

3. Цифры некоторого ному. Может ли сум-
числа   записали  в ма равняться 999 ?
обратном   порядке. Может ли  она  рав-
Полученное    число няться 9999 ?
прибавили к  исход- 

ешение Сначала дадим ответ  на второй вопрос:  9999  получить,
конечно,можно. Для этого нужно обеспечить условие: сумма первой
и последней цифр должна быть равна 9,  и сумма второй и третьей
цифр также должна быть равна 9. Hетрудно даже подсчитать  общее
количество вариантов: 1098+8901, 1188+8811, 1278+8721 и т.д. до
8901+1098 - всего 80 сочетаний. Формально их 100: от  0099+9900
до 9900+0099, но нормальное математическое число не должно начи-
наться с нуля. Рассмотрим теперь 999. Hа первый взгляд, достато-
чно заметить, что, существуй положительный ответ,  пришлось  бы
признать, что средняя девятка получается как сумма двух одинако-
вых цифр (ведь, очевидно, при переворачивании трехзначного  чис-
ла средняя цифра останется на месте). Hо как истинные программи-
сты ;-) , мы обязаны высказать предположение: а что, если  сред-
няя девятка получается как сумма двух четверок плюс флаг перено-
са из разряда единиц?! О, отрицание такого утверждения уже дале-
ко не столь очевидно! Чуток напряжем мозговые извилины: если та-
кая комбинация цифр существует, она должна давать в разряде еди-
ниц девятку (иным путем девятке в разряде единиц просто  неотку-
да взяться) и еще передавать единицу переноса в разряд десятков.
Увы, даже 9+9 равно только 18, то есть в разряде единиц -  вось-
мерка. Получить девятку и перенос одновременно невозможно.  Вот
и доказали.

Задача 4.

4. Если 30 человек рассадить в	
зале  кинотеатра, то хотя бы в	
одном  ряду  окажется не менее	
2-х   человек.   Если  в  зале	
рассадить  26  человек,  то по	
крайней  мере  3 ряда окажутся	
пустыми.			
				
Сколько рядов в зале?		
				

ешение Если из 30 человек двое неизбежно  оказываются  сидящи-
ми на одном ряду, то, возможно, рядов 28+1=29. Если  26 человек
сидят по одному в ряду и при этом 3 ряда пустые - возможно, все-
го рядов 26+3= также 29. По-видимому, рядов в кинотеатре  дейст-
вительно 29, хотя условие задачи сформулировано так, что точный
ответ все же надо давать такой: "не более 29 рядов".  Ведь  оба
условия ограничивают количество рядов только со стороны максиму-
ма, убедитесь сами!

Задача 5.

5.  У Пети, Васи и Коли вместе
было  120 конфет. Сначала Петя
дал  конфеты  Васе  и  Коле  -
каждому   столько,  сколько  у
каждого  из  тех  было.  Потом
Вася дал конфеты Коле и Пете -
каждому   столько,  сколько  у
каждого   из  тех  перед  этим
стало.   Hаконец,   Коля   дал
конфеты  Васе и Пете - каждому
столько,  сколько у каждого из
тех  было  на  тот  момент.  В
результате    всем   досталось
поровну. Сколько конфет было у
каждого вначале?






ешение В отличие от предыдущих,  эта задача на 100% серьезная,
то есть в ней нет ни подвоха, ни очевидного решения. Решать  ее
лучше всего с конца. Итак, на последнем этапе у каждого из маль-
чиков оказалось по 40 конфет, при этом у Васи и Пети это количе-
ство образовалось путем прибавления такого же количества конфет,
какое у них перед этим имелось, то есть 20. То есть  на предпос-
леднем этапе у Васи и Пети было по 20 конфет. А у Коли, следова-
тельно, 80 (вспомним: всего 120). Откатываемся еще на шаг назад:
80 Колиных и 20 Петиных конфет получились благодаря Васе,  кото-
рый дал Коле и Пете столько конфет, сколько у каждого из тех пе-
ред этим этапом было. Значит, у Коли было 80/2=40, а  у  Пети -
20/2=10 конфет. У Васи, стало быть, 120-10-40=70 конфет. И,  на-
конец, на первом этапе Петя дал Коле и Васе  по стольку  конфет,
сколько у тех было, а было, получается: у Коли - 40/2=20,  а  у
Васи - 70/2=35 конфет. У Пети, получается, 120-35-20=65  конфет.
Можете проверить; вот схема событий:

		Коля	    Вася	Петя

1.		 20	     35		 65
2.		 40	     70		 10
3.		 80	     20		 20
4.		 40	     40		 40

Все сходится, правда?