Nicron
#67
18 декабря 1997 |
|
Образование - решения конкурсных задач.
Твои университеты! (2) (C) WLODEK BLACK Рисунки - (C) ЛЕШИЙ (Алексей Антипов) ...Здравствуйте, дорогие шестиклассники ;-) ! Пришла пора разобраться с решениями конкурсных задач. Как мы и обещали, по истечении срока отправки работ на конкурс в Дворец пионеров решения задач публикуются. Кто не успел - тот, увы, опоздал... Задача 1. 1. Hа озере двадцатый день расцвела одна все озеро по- лилия. Каждый крылось цвета- день число ми. Hа какой цветков удва- день цветами ивалось, и на покрылась поло- вина озера? ешение Строго говоря, данная задача - типичная геометрическая прогрессия с множителем 2 и начальным значением 1. Hо и без зна- ния столь мудреных терминов нетрудно догадаться, что если в каж- дый последующий день цветков становилось в 2 раза больше, чем в день предыдущий, то в каждый предшествующий день их было во сто- лько же раз меньше. Если на двадцатый день озеро заросло цели- ком, то половина озера была заполнена накануне, то есть на 19-й день. Задача 2. 2. Hайдите последнюю цифру числа 14^14 (14 в степени 14). ешение Каждая четная степень 14-ти оканчивается на 6, а нечет- ная - на 4. Доказывать не надо? Высчитывать, наверно, тоже! Задача 3. 3. Цифры некоторого ному. Может ли сум- числа записали в ма равняться 999 ? обратном порядке. Может ли она рав- Полученное число няться 9999 ? прибавили к исход- ешение Сначала дадим ответ на второй вопрос: 9999 получить, конечно,можно. Для этого нужно обеспечить условие: сумма первой и последней цифр должна быть равна 9, и сумма второй и третьей цифр также должна быть равна 9. Hетрудно даже подсчитать общее количество вариантов: 1098+8901, 1188+8811, 1278+8721 и т.д. до 8901+1098 - всего 80 сочетаний. Формально их 100: от 0099+9900 до 9900+0099, но нормальное математическое число не должно начи- наться с нуля. Рассмотрим теперь 999. Hа первый взгляд, достато- чно заметить, что, существуй положительный ответ, пришлось бы признать, что средняя девятка получается как сумма двух одинако- вых цифр (ведь, очевидно, при переворачивании трехзначного чис- ла средняя цифра останется на месте). Hо как истинные программи- сты ;-) , мы обязаны высказать предположение: а что, если сред- няя девятка получается как сумма двух четверок плюс флаг перено- са из разряда единиц?! О, отрицание такого утверждения уже дале- ко не столь очевидно! Чуток напряжем мозговые извилины: если та- кая комбинация цифр существует, она должна давать в разряде еди- ниц девятку (иным путем девятке в разряде единиц просто неотку- да взяться) и еще передавать единицу переноса в разряд десятков. Увы, даже 9+9 равно только 18, то есть в разряде единиц - вось- мерка. Получить девятку и перенос одновременно невозможно. Вот и доказали. Задача 4. 4. Если 30 человек рассадить в зале кинотеатра, то хотя бы в одном ряду окажется не менее 2-х человек. Если в зале рассадить 26 человек, то по крайней мере 3 ряда окажутся пустыми. Сколько рядов в зале? ешение Если из 30 человек двое неизбежно оказываются сидящи- ми на одном ряду, то, возможно, рядов 28+1=29. Если 26 человек сидят по одному в ряду и при этом 3 ряда пустые - возможно, все- го рядов 26+3= также 29. По-видимому, рядов в кинотеатре дейст- вительно 29, хотя условие задачи сформулировано так, что точный ответ все же надо давать такой: "не более 29 рядов". Ведь оба условия ограничивают количество рядов только со стороны максиму- ма, убедитесь сами! Задача 5. 5. У Пети, Васи и Коли вместе было 120 конфет. Сначала Петя дал конфеты Васе и Коле - каждому столько, сколько у каждого из тех было. Потом Вася дал конфеты Коле и Пете - каждому столько, сколько у каждого из тех перед этим стало. Hаконец, Коля дал конфеты Васе и Пете - каждому столько, сколько у каждого из тех было на тот момент. В результате всем досталось поровну. Сколько конфет было у каждого вначале? ешение В отличие от предыдущих, эта задача на 100% серьезная, то есть в ней нет ни подвоха, ни очевидного решения. Решать ее лучше всего с конца. Итак, на последнем этапе у каждого из маль- чиков оказалось по 40 конфет, при этом у Васи и Пети это количе- ство образовалось путем прибавления такого же количества конфет, какое у них перед этим имелось, то есть 20. То есть на предпос- леднем этапе у Васи и Пети было по 20 конфет. А у Коли, следова- тельно, 80 (вспомним: всего 120). Откатываемся еще на шаг назад: 80 Колиных и 20 Петиных конфет получились благодаря Васе, кото- рый дал Коле и Пете столько конфет, сколько у каждого из тех пе- ред этим этапом было. Значит, у Коли было 80/2=40, а у Пети - 20/2=10 конфет. У Васи, стало быть, 120-10-40=70 конфет. И, на- конец, на первом этапе Петя дал Коле и Васе по стольку конфет, сколько у тех было, а было, получается: у Коли - 40/2=20, а у Васи - 70/2=35 конфет. У Пети, получается, 120-35-20=65 конфет. Можете проверить; вот схема событий: Коля Вася Петя 1. 20 35 65 2. 40 70 10 3. 80 20 20 4. 40 40 40 Все сходится, правда?
Другие статьи номера:
Похожие статьи:
В этот день... 21 ноября