Insanity #05 28 февраля 2000

Игра в песочек - история открытия Фракталов.

                ПОЧЕМУ УЧЕНЫЕ ИГРАЮТ В ПЕСОЧЕК



(c) Dr.Dismal


                             "- А ты знаешь что такое фрактал???
                              -Да ты  что,  ламер что ли??? Шту-
                               ка такая прикольная, там еще все
                               повторяется..."

    Хмм... А вот я недавно задумался над вопросом, что же это на
самом  деле  -  фрактал. Кто придумал эту самую штуку??? Сказать
честно,  впервые  о  фракталах  я  узнал довольно давно. Конечно
пешком под стол уже не ходил, но до школы еще не дорос, значится
лет 5-6. Так вот, подарили мне игрушку такую, интересную - Magic
Caleidoscope.  Ну  что,  калейдоскоп,  как  калейдоскоп,  только
большой такой красивый - заграничный с наклейками-снежинками. Но
это к делу почти не относится...

    Так  вот,  будучи  ребенком  любознательным  и не по годам своим
шокирующий   взрослых,   начал   расспрашивать  что  там  внутри
получается.  Кто-то  ограничивался объяснением, что там красивые
узорчики,  кто-то  (наверняка  с  техническим  образованием)  :)
рассказывал,  что  там  зеркальца  и  осколки  стекол  и  разных
штучек-дрючек  образуют  симметрию,  которая  радует глаз многих
ребятишек.  А кто-то ляпнул это непонятное слово - ФРАКТАЛЫ. Вон
на  калейдоскопе фрактальные снежинки нарисованы. Естественно я,
как  не  только  любознательный  ребенок,  но  и как любопытный,
захотел  достать  те  самые фракталы, ведь ни у кого их не было!
Вскрытие показало, что никаких фракталов и не существует, только
зеркальца да "штучки-дрючки"... 

    Второй  раз  я столкнулся с фракталами, когда защищал диплом
по  случаю  получения  профессии. Даже до сих пор помню название
дипломной  работы 'Компьютерная графика. Вычисляемые изображения
и  визуализация  данных'.  Тогда мне пришлось вскользь упомянуть
фракталы.  И  именно  тогда я уже более подробно о них узнал. Но
какого  либо  твердого  определения  фракталов  я не нашел. Ну а
общие  слова, не в счет. То, что это порождение хаоса, симметрия
из  беспорядка,  безделушки для ученых-математиков может сказать
даже диктор по телевидению. Мне же, хоть и нравятся просто общие
слова в объяснениях, хоть раз нужно услышать добротное и простое
определение и небольшое обьяснение сути.

    В   последствии  заинтересовала  статья,  по-моему  ALK'a  о
фракталах  в  ОБЕРОН'е.  И вот совсем недавно еще одна статья на
эту тему.

    Конечно  же  у  вас  может  возникнуть  вопрос - ты че пацан
тормоз? Не мог за такое долгое время найти ответ на интересующую
тему???  Да,  нет, а может и да, впрочем нет - то что я знал мне
практически  хватало,  чтобы  в  общих  чертах объяснить это еще
кому-то.  Ну  а  то  что  я  довольно ленивый человек, я даже не
скрываю.  Ну  влом мне рыться в литературе, сидеть в библиотеке,
нет люблю я там посидеть, но туда ехать нужно... :)

    Так  вот  попалась  в  руки мне статья, в которой рассказана
одна  очень  поучительная  история,  которую  я  и  хотел бы вам
поведать.

    Самая    аккуратная    в    мире   песочница   находится   в
научно-исследовательском   центре  всемирно  известной  компании
"IBM". Вот как выглядит "игра в песочек по-научному". Стеклянная
колба"песочница"   закреплена   в  зажимах  с  моторчиком  таким
образом,  что  делает  один оборот в секунду. При вращении колбы
песчинки  в  ней  тонкой  струйкой  стекают  по  длинному узкому
горлышку,  имеющему  небольшой,  всего  в  2  градуса, наклон. С
каждым  поворотом  несколько песчинок продвигаются по наклонному
горлышку,   пока  одна  изних  не  выпадет  наружу.  Обычно  это
происходит один раз в 10 секунд.

    Тридцать  тысяч  выпавших песчинок образуют горку в 2, 5 см.
высотой,   которая   своим   основанием  заполняет  всю  площадь
пластмассового   диска   диаметром  в  4  см.  И  вот  наступает
критический  момент.  Как  только  падает еще одна песчинка, она
сбивает с вершины другую, та - третью... Начинается микролавина.
Часть песка просыпается с диска на поддон и... В общем-то ничего
особого   не   происходит   :)  В  этот  момент  останавливается
микромоторчик,   поскольку   его  выключает  сигнал  компьютера,
получившего   информацию  от  электронных  весов,  на  платформе
которых   покоится   диск.  Когда  микролавина  прекращает  свое
течение,  компьютер фиксирует вес оставшегося на платформе песка
и  вновь включает моторчик. Горка снова начинает расти. И так до
следующей лавины...

    Нет,  физик  Гленн  Хелд, сконструировавший это замысловатое
устройство,  вовсе  не  собирался модернезировать песочные часы.
Более  того,  сами  свойства  песка его мало интересуют - хотя и
пришлось  его  тщательно  промыть и прокалить, чтобы песчинки не
слипались  в  носике  колбы.  Исследователь  на  основании своей
"песочной  модели"  пытается  подтвердить справедливость теории,
согласно   которой   образование  и  разрушение  песчаных  горок
подчиняются  тем  же  законам  статистики,  что  и  разливы рек,
землятресения  и даже колебания цен и спроса товаров на фондовой
бирже.

    Четверть века назад такую идею высказал работавший здесь же,
в    "IBM",    математик   Бенуа   Мандельброт.   Он   попытался
проанализировать статистику ежегодных разливов Нила, за которыми
египтяне  наблюдают  тысячелетиями.  На  первый  взгляд  график,
построенный  по  данным  наблюдений, никаких особых тенденций не
обнаруживал:  в  некоторые  годы  вода  в  Ниле поднимается выше
среднего   уровня,  чаще  же  колеблется  где-то  возле  средней
отметки. Ну и что из этого?

    Когда    Мандельброт    внимательно    проанализировал   эту
статистику,   то   обнаружил,   что,  независимо  от  временного
интервала  -  4ООО,  4ОО  или  4О  лет,  -  картина  оказывалась
практически одинаковой, состоящей из серии похожих друг на друга
отклонений.  Причем  любая  часть  диаграммы, как бы мала она не
была,   являлась  своеобразным  миниатюрным  отображением  более
крупной части.

    И   тут   Мандельброт   вспомнил,   что   еще  в  1904  году
малоизвестный  немецкий  математик  Эрик  фон Кох, изучая работы
своих  предшественников  Георга  Кантора  и  Карла Вейерштрассе,
наткнулся  на сделанные ими описания странных кривых с необычным
поведением.  Странность же их заключалась в том, что любой, даже
ничтожно малый отрезок такой кривой в точности повторял по своим
свойствам всю кривую.

    Заинтересовавшись,   Кох   взял  лист  бумаги  и  попробовал
нарисовать  нечто  подобное  самостоятельно. Все оказалось очень
просто.  Нужно  начертить  равносторонний  треугольник. Поделить
каждую  из сторон на 3 части. на среднем отрезке опять построить
равносторонний  треугольник,  как  бы  вытягивая начальное ребро
наружу.  На  малых  ребрах,  еще  раз  поделенных  натрое, снова
построить треугольник... И так, шаг за шагом, пока есть место на
бумаге.  В  итоге  получится  фигура, известная в математике как
"снежинка Коха". 

    Поначалу   ученые   отнеслись  к  "снежинке"  как  к  этакой
математической  безделице: занятно, но не известно, какой от нее
прок.  Однако, спустя некоторое время английскому метеорологу Л.
Ричардсону   понадобилось   измерить   длину   береговой   линии
Великобритании.  Поначалу  он  попробовал  сделать  измерения  с
помощью  курвиметра на карте. Но вскоре понял: при таком способе
измерения  результат  во  многом  зависит от масштаба. При более
крупном масштабе на карте становятся видны все более мелкие мысы
и  бухты,  длина  береговой линии удлиняется. В общем, береговая
линия  проявила  те  же  свойства,  что  и снежинка Коха, график
разливов  Нила...  А значит, подобные закономерности имеют некий
практический смысл и стоят того, чтобы ими заняться досконально.

    Тогда   Мандельброт  попробовал  нанести  на  график  полное
количество  всех  разливов  Нила  данной  высоты - один фут выше
среднего,  два фута выше среднего и т. д. При этом обнаружилось,
что  на  графике  образуется сглаженная кривая, которую довольно
просто описать математическими уравнениями.

    Неупорядоченную  форму графика Мандельброт назвал "фрактал",
от  английского  слова  "fractanial" - дробный, тем самым как бы
намекая  на  то,  что  внутри  этого  целого очень много дробных
частей.  Сами  же  дробные  части, образующие загадочный порядок
внутри хаоса, называют "фриккер-шум". 

    Дальнешее  развитие  событий  сам Мандельброт так описывал в
своей  книге  "Фрактальная  геометрия  природы", вышедшей в 1983
году: "учeные с немалым удивлением и восторгом уясняют для себя,
что многие и многие формы, которые они до сих пор были вынуждены
характеризовать как гидроподобные, похожие на морские водоросли,
запутанные,   ветвистые   и   т.п.,  отныне  могут  изучаться  и
описываться в строго количественных терминах".

    И  действительно,  ныне  что  ни  день, появляются все новые
сведения об использовании фракталов в самых неожиданных областях
науки, что самые красивые мелодии подчиняются закону фракталов -
одна  и  та  же  музыкальная  фраза  может  варьироваться  в них
бесчисленное  число  раз,  обретая  все  новые  краски.  Биологи
выяснили,  что  папоротник,  цветная и спаржевая капуста, многие
другие   растения  являют  собой  наглядные  примеры  фракталов,
поскольку  у  них  отдельные  листья  напоминают  по  форме  все
растение  в  целом, да к тому же с легкостью все это описывается
математически.   Медики   и   биофизики   обнаружили,   что  при
моделировании дыхательных путей, сосудистой и нервной систем они
тоже  сталкиваются  с  фракталами.  Даже  мыслительные процессы,
оказывается,  несут  в себе некую долю фрактальности. Это хорошо
видно, например, на энцефалограммах - записях активности мозга.

    Еще   больше   примеров  фрактальности  в  неживой  природе.
Броуновское  движение  молекул,  турбулентное течение жидкости и
газа,  всё  многообразие  форм  горных  цепей и кучевых облаков,
зигзаги молний и акустические раскаты грома - вот лишь некоторые
примеры фракталов в природе.

    Даже    образование   звезд,   происходящее   в   гигантских
межзвездных   облаках,  тоже  может  быть  описано  фрактальными
структурами.  Причем  формулы  и методы, которые применяются при
таком  описании,  аналогичны  тем,  что  используются  в анализе
процессов,  происходящих  в  лабораторных  условиях. Стало быть;
благодаря   фракталам   ученые   получили  возможность  наглядно
наблюдать  за  процессами рождения протозвезд, которые в природе
занимают как минимум 20-30 млн. лет.

    ...Вот,  в  кратце  содержание  статейки, которая датируется
92-м  годом.  А  что  же сейчас??? Однозначно можно сказать, что
исследования  фракталов  продолжаются.  Сравнительно недавно мне
рассказывали  о  передаче по телевидению, в которой рассказывали
как  раз  о  применении  фракталов  в  современных  компьютерных
технологиях в сфере визуализации и компьютерной графики. Много о
чём  было  рассказано,  и  естественно  пересказано  мне, но вот
применение  фрактального  фильтра  мне запомнилось особо. Суть в
том,   что   к  увеличенному  изображению,  которое  естественно
распадается   на   большие  квадратные  точки  -  суть  пиклелы,
применяют   фрактальный   фильтр,   после  которого  детализация
увеличенного  изображения  ничем  не  отличается  от  оригинала,
вплоть до мельчайших деталей и оттенков цветовой гаммы.

    Вообще,  фракталы  довольно  интересная  тема,  только  вот,
почему-то мало информации о них...