02 марта 2004

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ - фанатеем
          от предмета
(С) FRACTAL 2.03.2004
================================

Договоримся, что речь пойдет про
мат. анализ.  Будем решать типо-
вой расчет  по  Кузнецову  номер
первый. Но  сначала  договоримся
об обозначениях.

x - независимая  переменная  для
    рассматриваемых фунуций.
f,g - функции от икса.
n - натуральное число.
oo - бесконечность.
lim - предел.
abs - модуль аргумента.
c - принадлежность.
A - квантор всеобщности.
E - квантор существования.

Стандартные математические опер-
ации типа  =,+,-,*,/,^,  а также
элементарные функции  обозначать
будем стандартно. Нижние индексы
будем записывать в скобках.

Дальше. Немного теории. В расче-
те требуют знать следующее:

1. Понятие числовой последовате-
льности и ее предела. Теорема об
ограниченности сходящейся после-
довательности.

Определение
a[n] называется числовой послед-
овательностью, если
A (ncN) <- a[n]cR

Определение
Число a называется пределом чис-
ловой  последовательности  a[n],
если
(A e>0)(E n(e)cN)(A n>n(e)):
   abs(a[n]-a) a[n]-огр.

2. Понятие предела функции в то-
чке. Понятие функции, ограничен-
ной в окрестности точки.  Теоре-
ма  об  ограниченности  функции,
имеющей предел.

Определение формулируется на яз-
ыке   "эпсилон-дельта",  причем
определение по Гейне дает возмо-
жность не формулировать  указан-
ную  теорему, так  как  она  уже
сформулирована для  предела пос-
ледовательности.

3. Теорема о переходе к пределу
в неравенствах.

4. Теорема о пределе промежуточ-
ной функции.

Ну это все элементарно.

5. Понятие непрерывности функции
в точке. Доказать  непрерывность
функции cos(x).

Определение 1.
Функция f называется непрерывной
в точке x0, если
      lim(f)=f(x0)
      x->x0

Можно сформулировать  также  еще
два   определения  непрерывности
(на языке  "эпсилон-дельта"  и с
указанием всех условий: определ-
енность, существование  пределов
слева и справа).

Основные элементарные, а следов-
ательно, и элементарные  функции
непрерывны в области их определ-
ения.

Докажем, что
(Ae>0)(Ed(e)>0)
(Ax:Abs(x-xO) неравенство g вы-
полнено. Т.о. функция cos(x) не-
прерывна по определению.

6. Первый  замечательный  предел
lim(sin(x)/x)=1
x->0

7. Бесконечно малая функция и ее
свойства.

8. Теоремы об арифметических оп-
ерациях над  пределами  (+,*,/).
А отсюда -  непрерывность суммы,
произведения, частного. Непреры-
вность сложной функции.

9. Эквивалентные б.м. функции.

Их стоит перечислить:
x->0
x~sin(x)~tg(x)~arcsin(x)~
~arctg(x)~ln(1+x)~e^x-1

1-cos(x)~x^2/2

a^x-1~x*ln(a)

Ну,  теперь можно браться за за-
дачи.

ЗАДАЧА 1.
---------
Доказать, что lim(a[n])=a
               n->oo
(указать n(e)):

1.1. - a[n]=(3n-2)/(2n-1),a=3/2

Решение:
(Ae>0)(En(e)cN)(An>n(e)):
   Abs((3n-2)/(2n-1)-3/2)
n(e)=(2e-1)/(4e-6)

Ответ: n(e)=(2e-1)/(4e-6)

ЗАДАЧА 2.
---------
Вычислить предел числовой после-
довательности:

2.7 -
lim[n->oo]
(((1+2n)^3-8n^3)/((1+2n)^2+4n^2)

Ответ: 3/2 (данный  предел равен
отношению коэффициентов при ста-
рших степенях n,  формально  это
можно показать делением на n^2).

ЗАДАЧА 3.
---------
Вычислить предел числовой после-
довательности:

3.6 -
lim[n->oo]
(n^(6/5)-(27n^6+n^2)^(1/3))/
(n+n^(1/4))*(9+n^2)

Ответ: -27

ЗАДАЧА 4.
---------
Вычислить предел числовой после-
довательности:

4.2 -
lim[n->oo]
n(Sqrt(n(n-2))-Sqrt(n^2-3))

Ответ: oo (домножить на сопря-
женное - сумму корней, а затем
по принципу предыдущего)