МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ - фанатеем от предмета (С) FRACTAL 2.03.2004 ================================ Договоримся, что речь пойдет про мат. анализ. Будем решать типо- вой расчет по Кузнецову номер первый. Но сначала договоримся об обозначениях. x - независимая переменная для рассматриваемых фунуций. f,g - функции от икса. n - натуральное число. oo - бесконечность. lim - предел. abs - модуль аргумента. c - принадлежность. A - квантор всеобщности. E - квантор существования. Стандартные математические опер- ации типа =,+,-,*,/,^, а также элементарные функции обозначать будем стандартно. Нижние индексы будем записывать в скобках. Дальше. Немного теории. В расче- те требуют знать следующее: 1. Понятие числовой последовате- льности и ее предела. Теорема об ограниченности сходящейся после- довательности. Определение a[n] называется числовой послед- овательностью, если A (ncN) <- a[n]cR Определение Число a называется пределом чис- ловой последовательности a[n], если (A e>0)(E n(e)cN)(A n>n(e)): abs(a[n]-a) a[n]-огр. 2. Понятие предела функции в то- чке. Понятие функции, ограничен- ной в окрестности точки. Теоре- ма об ограниченности функции, имеющей предел. Определение формулируется на яз- ыке "эпсилон-дельта", причем определение по Гейне дает возмо- жность не формулировать указан- ную теорему, так как она уже сформулирована для предела пос- ледовательности. 3. Теорема о переходе к пределу в неравенствах. 4. Теорема о пределе промежуточ- ной функции. Ну это все элементарно. 5. Понятие непрерывности функции в точке. Доказать непрерывность функции cos(x). Определение 1. Функция f называется непрерывной в точке x0, если lim(f)=f(x0) x->x0 Можно сформулировать также еще два определения непрерывности (на языке "эпсилон-дельта" и с указанием всех условий: определ- енность, существование пределов слева и справа). Основные элементарные, а следов- ательно, и элементарные функции непрерывны в области их определ- ения. Докажем, что (Ae>0)(Ed(e)>0) (Ax:Abs(x-xO) неравенство g вы- полнено. Т.о. функция cos(x) не- прерывна по определению. 6. Первый замечательный предел lim(sin(x)/x)=1 x->0 7. Бесконечно малая функция и ее свойства. 8. Теоремы об арифметических оп- ерациях над пределами (+,*,/). А отсюда - непрерывность суммы, произведения, частного. Непреры- вность сложной функции. 9. Эквивалентные б.м. функции. Их стоит перечислить: x->0 x~sin(x)~tg(x)~arcsin(x)~ ~arctg(x)~ln(1+x)~e^x-1 1-cos(x)~x^2/2 a^x-1~x*ln(a) Ну, теперь можно браться за за- дачи. ЗАДАЧА 1. --------- Доказать, что lim(a[n])=a n->oo (указать n(e)): 1.1. - a[n]=(3n-2)/(2n-1),a=3/2 Решение: (Ae>0)(En(e)cN)(An>n(e)): Abs((3n-2)/(2n-1)-3/2) n(e)=(2e-1)/(4e-6) Ответ: n(e)=(2e-1)/(4e-6) ЗАДАЧА 2. --------- Вычислить предел числовой после- довательности: 2.7 - lim[n->oo] (((1+2n)^3-8n^3)/((1+2n)^2+4n^2) Ответ: 3/2 (данный предел равен отношению коэффициентов при ста- рших степенях n, формально это можно показать делением на n^2). ЗАДАЧА 3. --------- Вычислить предел числовой после- довательности: 3.6 - lim[n->oo] (n^(6/5)-(27n^6+n^2)^(1/3))/ (n+n^(1/4))*(9+n^2) Ответ: -27 ЗАДАЧА 4. --------- Вычислить предел числовой после- довательности: 4.2 - lim[n->oo] n(Sqrt(n(n-2))-Sqrt(n^2-3)) Ответ: oo (домножить на сопря- женное - сумму корней, а затем по принципу предыдущего)